قضیه لاگرانژ یا مقدار میانگین

مشتق و مطالب مرتبط با ان نقش مهمی در ریاضیات ایفا میکند اما کاربرد قضیه لاگرانژ یا مقدار میانگین و نتایج آن در حل مسائل ریاضیات مقدماتی همیشه مهم بوده است 

اثبات اتحاد ها نامساوی ها و فرمول های مثلثاتی و تبدیل عبارتهای جبری به حاصل ضرب و حل معادله و نامعادله و دستگاه معادله و معادله های پارامتری با استفاده از این قضیه امکان پذیر است.

صورت کلی قضیه لاگرانژ 

اگر تابع f  در بازه [a,b] پیوسته باشد و در تمام نقاط بازه (a,b)  مشتق پذیر است آنگاه در این بازه نقطه ای مانند c وجود دارد به طوری که رابطه زیر برای آن برقرار است 

مشتق تابع در نقطه c  برابر است با مقدار تابع f  در نقطه b  منهای مقدار تابع در نقطه  a تقسیم بر تفریق مقدار b  با  a

 نتایج سه گانه از این تعریف و قضیه به شرح زیر میباشد:

1 - به شرط اینکه تابع ما ثابت باشد اگر تابع f  در بازه [a,b] پیوسته و مشتق آن در داخل این بازه صفر باشد انگاه تابع در بازه [a,b] ثابت است.

2- اگر دو تابع f و g  در بازه [a,b]  پیوسته باشند و در داخل این بازه مشتق های مساوی داشته باشند اختلاف آنها تنها در مقادیر ثابت خواهد بود.

3- اگر تابع ما یکنوا باشد و تابع f  در بازه ای دلخواه مانند I  پیوسته و مشتق آن در آن بازه مثبت و یا منفی باشد ان گاه تابع f  در این بازه صعودی و یا نزولی است.